積分　x^α

$3$\displaystyle{\int {x}^{{\alpha}}dx =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C}$ ･･････(1)

※ $3$\displaystyle{{\alpha}}$ の値は $3$\displaystyle{- 1}$ 以外の実数

(1)式は $3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}}$ を積分したものである．積分は微分と逆の操作だと考えることができる．

ある関数を積分し，それを微分すると，元の関数に戻る．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 } }$ を微分すると以下のようになる．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 } $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}. $ \alpha +1 $ {x}^{\alpha } }$

$3$\displaystyle{={x}^{\alpha }}$ 　　　⇒ここを参照

よって， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 } }$ は $3$\displaystyle{ {x}^{{\alpha}} }$ の原始関数である．従って，不定積分の定義より

$3$\displaystyle{\int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C}$

以下に積分の具体例を示す．

■例

$3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}}$ の $3$\displaystyle{{\alpha}}$ を3と置いたときの関数 $3$\displaystyle{ {x}^{3} }$ を積分する．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{3} }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{x}^{ 3+1 }+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+C }$

となる．ここで，結果を微分して $3$\displaystyle{ {x}^{3} }$ に戻るかどうか確認すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+C $ ={x}^{3}}$

となり，元に戻った．

※の $3$\displaystyle{{\alpha}\neq - 1}$ とあるが， $3$\displaystyle{{\alpha}=- 1}$ の時は(1)式の左辺 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}}$ の分母が0になり，(1)式は成立しない．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{ - 1 } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - 1+1 \hspace{2}}{x}^{ - 1+1 }+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}{x}^{0}+C }$

従って， $3$\displaystyle{{\alpha}=- 1}$ の時は別の方法で積分しなければならない．⇒ここを参照

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>基本となる関数の積分>>積分　 $3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}}$

学生スタッフ作成
最終更新日 2023年10月3日

積分 x^α

■例

積分　x^α